2: Obtención del dominio, contradominio y rango de una función a través de por lo menos 5 ejemplos

Dominio de la función: Es el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente “x”. 
Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. 

Dominio:

Dominio de una función polinómica

Las funciones polinómicas son en las que no aparecen ni denominadores ni raíces.

La puede aparecer sumando, restando, multiplicando o elevada a algún exponente, como por ejemplo:

En este tipo de funciones no existe ningún valor de x que haga que f(x) no exista. Por tanto, f(x) existe siempre.

Cuando una función existe siempre, su dominio es todo el conjunto de los números reales:

Cómo se calcula el dominio de una función racional

Las funciones racionales existen para todo R, menos para los valores que hacen 0 el denominador.

Por tanto, para calcular el dominio de una función racional, debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R.

Por ejemplo:

Esta función existirá siempre, menos cuando el denominador sea igual a 0. Por tanto, debemos encontrar esa restricción que anula al denominador.

Para que exista la función, el denominador debe ser distinto de 0:

Y esta restricción, es una ecuación de primer grado, de donde debemos despejar la x:

Cuando x=1, el denominador será 0. Por tanto, para que exista f(x), x tiene que ser distinto de 1 y ese es el valor que hay que quitarle a R:

El dominio es todo R menos el conjunto formado por el número 1.

Vamos a ver otro ejemplo:

Igual que antes, esta función existirá siempre que el denominador no sea 0. Por tanto, calculamos los valores que hacen 0 el denominador:

Es decir, la función existirá siempre que x sea distinto de 2 y 3, por tanto el dominio es todo R menos 2 y 3:

Contradominio:

Sea f una función real definida por f(x)=2.

El dominio de f son todos los números reales tales que, al evaluarlos en f, el resultado es un número real. El contradominio por el momento es igual a R.

Como la función dada es constante (siempre igual a 2), se tiene que no importa qué número real se escoja, ya que al evaluarlo en f el resultado siempre será igual a 2, el cual es un número real.

Por lo tanto, el dominio de la función dada son todos los números reales; es decir, A=R.

Ahora que ya es sabido que el resultado de la función siempre es igual a 2, se tiene que la imagen de la función es solo el número 2, por lo tanto el contradominio de la función puede ser redefinido como B=Img(f)={2}.

Por lo tanto, f : R → {2}.

Ejemplo 2

Sea g una función real definida por g(x)=√x.

Mientras no se conozca la imagen de g, el contradominio de g es B=R.

Con esta función se debe tener tomar en cuenta que las raíces cuadradas solo están definidas para números no negativos; es decir, para números mayores o iguales que cero. Por ejemplo, √-1 no es un número real.

Por lo tanto, el dominio de la función g deben ser todos los números mayores o iguales que cero; esto es, x ≥ 0.

Por lo tanto, A=[0,+∞).

Para calcular el rango se debe notar que cualquier resultado de g(x), por ser una raíz cuadrada, siempre será mayor o igual que cero. Es decir, B=[0,+∞).

En conclusión, g : [0,+∞)→[0,+∞).

Ejemplo 3

Si se tiene la función h(x)=1/(x-1), se tiene que esta función no está definida para x=1, puesto que en el denominador se obtendría cero y la división por cero no está definida.

Por otro lado, para cualquier otro valor real el resultado será un número real. Por lo tanto, el dominio son todos los reales excepto el uno; es decir, A=R\{1}.

Del mismo modo se puede observar que el único valor que no puede obtenerse como resultado es el 0, puesto que para que una fracción sea igual a cero el numerador debe ser cero.

Por lo tanto, la imagen de la función es el conjunto de todos los reales excepto el cero, entonces se toma como contradominio B=R\{0}.

En conclusión, h : R\{1}→R\{0}.

Rango:

Cálculo del rango o recorrido Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R =  − {2}