6: Elaborar una lista de características entre el teorema del residuo y factor con el teorema de raíces racionales

Teorema del residuo 

• Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 
• El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. 
• El teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. 

Teorema del factor 

• Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. 
• Si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio 

7: Resolver ejercicios que expliquen paso a paso la división sintética utilizando por lo menos 5


Ejemplo 1. Realizar, utilizando división sintética, la siguiente división:
 (x - 2 + x3
- 2x2
) ÷ (x - 2)
Ordenamos descendentemente el dividendo, pues el divisor ya lo está.
(x3
- 2x2 + x - 2) ÷ (x - 2)
Colocamos los coeficientes del dividendo en una fila:
1 -2 1 -2
A la derecha del último coeficiente, colocamos el término independiente del divisor,
con signo cambiado, es decir, +2:
1 -2 1 -2                                                             | 2
____________________________________
Bajamos el primer coeficiente:
1 -2 1 -2                                                             | 2
____________________________________
1
Se multiplica el 1 que bajamos, por 2. El resultado se suma algebraicamente al
coeficiente del segundo término:
1 -2 1 -2 | 2
 (1)(2) = 2
____________________________________
1 0
El 0 obtenido se multiplica por 2. El resultado se suma algebraicamente al
coeficiente del tercer término, y así, sucesivamente.
1 -2 1 -2 | 2
 (1)(2) = 2 (0)(2) = 0 (1)(2) = 2
_________________________________
1 0 1 0
Por tanto, como el dividendo es de tercer grado, el cociente debe ser de segundo;
por lo que, el cociente es x
2 + 0x + 1, y el residuo, 0; es decir, el resultado de la
división es: x2 + 1.
Recordemos que la división se puede comprobar multiplicando el cociente por el
divisor, y nos debe dar el dividendo. Si hay residuo, lo agregamos al resultado.

Ejemplo 2. Realizar, utilizando división sintética, la siguiente división:
 (3 + x4- 9x2 + x) ÷ (3 + x)
Ordenamos descendentemente ambos polinomios:
(x4
- 9x2 + x + 3 ) ÷ (x + 3)
Colocamos los coeficientes del dividendo en una fila. Como el polinomio es
incompleto, pues no existe término en x
3
, colocaremos cero en el lugar
correspondiente:
1 0 -9 1 3
A la derecha del último coeficiente, colocamos el término independiente del divisor,
con signo cambiado, es decir, - 3:
11/6/2018 División sintética o abreviada. Ejercicios resueltos | Ab-Fénix-Instituto
https://abfenixmx.blogspot.com/2014/02/division-sintetica-o-abreviada.html 3/13
1 0 -9 1 3 | -3
____________________________________________
Bajamos el primer coeficiente:
1 0 -9 1 3 | -3
____________________________________________
1
Se multiplica el 1 que bajamos, por (-3). El resultado se suma algebraicamente al
coeficiente del segundo término:
1 0 -9 1 3 | -3
 (1)(-3) = -3
____________________________________________
1 -3
El -3 obtenido se multiplica por -3. El resultado se suma algebraicamente al
coeficiente del tercer término, y así, sucesivamente.
1 0 -9 1 3 | -3
 (1)(-3) = -3 (-3)(-3) = 9 (0)(-3) = 0 (1)(-3) = -3
______________________________________________
1 -3 0 1 0
Por tanto, como el dividendo es de grado 4, el cociente es de grado 3, y es: x
3
-
3x2 + 0x + 1, y el residuo, 0; es decir, el resultado es: x3
- 3x2 + 1.


Ejemplo 3. Realizar, utilizando división sintética, la siguiente división:
 (- 5x3+ x4- 48 + 4x) ÷ (x + 2)
Ordenamos descendentemente el dividendo:
( x4- 5x3+ 4x - 48 ) ÷ (x + 2)
Colocamos los coeficientes del dividendo en una fila. Como el polinomio es
incompleto, pues no existe término en x
2 colocaremos cero en el lugar correspondiente:

1 -5 4 -48
_______________________________

A la derecha del último coeficiente, colocamos el término independiente del divisor,
con signo cambiado, es decir, - 2:

1 -5 0 4 -48 | -2
__________________________________________

Bajamos el primer coeficiente:

1 -5 0 4 -48 | -2
__________________________________________
1

Se multiplica el 1 por -2. El resultado se suma algebraicamente al segundo
coeficiente:

1 -5 0 4 -48 | -2
 (1)(-2) = -2
__________________________________________
1 -7

Se multiplica el -7 por -2. El resultado se suma algebraicamente al tercer
coeficiente, y así, sucesivamente:

1 -5 0 4 -48 | -2
 (1)(-2) = -2 (-7)(-2) = 14 (14)(-2) = -28 (-24)(-2) = 48
_________________________________________________
1 -7 14 -24 0

El cociente debe ser de grado 3, ya que el dividendo es de grado 4. Por tanto, el
cociente es: x3
- 7x2+ 14x - 24. El residuo es cero.



Ejemplo 4. 
Realizar, utilizando división sintética, la siguiente división:
(5x5 + 3x2+ x - 4) entre (x + 3)

5 0 0 3 1 -4 |-3

 (5)(-3)=-15 (-15)(-3)=45 (45)(-3)=-135 (-132)(-3)=396 (397)(-3)=-1191
______________________________________________________________
5 -15 45 -132 397 -1195

4: Explicar la traslación de gráficas de una función usando por lo menos 5 ejemplos

Para graficar una función, es necesario establecer muy bien los valores de equis y los valores de ye. Esto es el domino y el rango de la función. Esto se consigue haciendo una tabla de valores y luego colocando los puntos en el plano cartesiano.

Por ejemplo la función idéntica o identidad. Que corresponde a la función y = x. veamos su proceso para graficarla.

HACEMOS UNA TABLA DE VALORES     

                         

LUEGO UNIENDO LOS PUNTOS

Una de las cosas que queremos descubrir tiene que ver con el cambio que sufre la grafica, y qué relación tiene este cambio con la función algebraica. Si decimos que la función idéntica se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo sufre una translación de tipo vertical, y su  movimiento es hacia los lados, entonces sufre una translación horizontal. De mismo modo que esta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.

Así entonces las expresión y = x, que originalmente tiene la forma de la ecuación de la recta Y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b el valor de la intersección con el eje de las ordenadas. Vemos que e cambio es vertical y a pesar de moverse de forma horizontal terminará cortando al eje de las ordenadas en el valor de b.

Las ecuaciones serán:

Y = x + 1     y = x + 2     y = x + 3   y = x- 1       y = x -2

Y las ecuaciones serán muchas, algo a lo que llamamos familia de las rectas. Que son las que tienen la misma pendiente pero una posición distinta.

Interpretemos estas curvas que nacen de la función y = x². Vemos una curva punteada es la original, y las demás curvas nacen de ella misma solo que su desplazamiento es vertical. Por eso las ecuaciones son

y = x² + b, donde b  es el número donde corta al eje de las ordenadas o y.

Pero si e cambio es hacia el lado horizontal, ya no identificaremos el vértice de la parábola o la curva en el corte con las ordenadas, esta vez su vértice estará en otra coordenadas (x,y).

DELAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES

VERTICAL: Si la gráfica se mueve hacia arriba o hacia abajo el valor de b y su signo son iguales.

HORIZONTAL: Si el desplazamiento es hacia los lados, el signo de uno de los términos será contrario.

EJEMPLOS:

1) La función f(x) = (x +2)² + 3

El vértice de esta función estará ubicado en la coordenadas (- 2 , 3 )

2)   y = f(x) - 3

y = f(x) - 3 = 4 - x² - 3 = 1 - x²

La función resultante traslada verticalmente hacia abajo

a la función   f(x) = 4 - x²   tres unidades:

3)   y = f(x) + 2

y = f(x) + 2 = 4 - x² + 2 = 6 - x²

La función resultante traslada verticalmente hacia arriba

a la función   f(x) = 4 - x²   dos unidades:

4)   y = f(x - 2)

y = f(x - 2) = 4 - (x - 2)² = 4 - (x² - 4x + 4) = 4x - x²   

La función resultante traslada horizontalmente hacia la derecha

a la función   f(x) = 4 - x²   dos unidades:

5)   y = f(x + 2)

y = f(x + 2) = 4 - (x + 2)² = 4 - (x² + 4x + 4) = - 4x - x²   

La función resultante traslada horizontalmente hacia la izquierda

a la función   f(x) = 4 - x²   dos unidades:

9: En listar las propiedades y concepto de las funciones logarítmicas y exponenciales

 *   Funciones exponenciales.

  Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una variable x, por ejemplo:

  Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es   (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x".

  Pero en general una función exponencial tiene la forma:

siendo a un número positivo distinto de 0.

*   Funciones logaritmicas.   Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo N es z, lo cual expresamos,   ,    si se verifica:   En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener ese número N    Por ejemplo,  decimos que el Logaritmo decimal (base 10) de 100 es 2,  puesto que 10²=100.

8: Explicar el concepto de función racional y la obtención de su dominio, rango y asintotas a través de por lo menos 5 ejemplos

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio

 

Rango y dominio:

Encontremos el dominio de las siguientes funciones:

      4x-5

y= ____

      6x-6

Para encontrar el dominio de la función, debemos plantear que el denominador debe ser diferente de cero

6x-6=0

Al despejar tenemos:

x=6

     6

x  __

     6

x= 1

Por lo tanto el dominio es: 

D{xER/x=1}

1. Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

2. Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

10: Elaborar un cuadro comparativo sobre las características de las funciones periódicas como : seno, coseno y tangente

5: Explicar el concepto de función polinominal

Una función polinomial es una función en que f ( x ) es un polinomio en x .

Su expresión es una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

3: Describir paso por paso a demás de explicar el concepto de una función inversa y su obtención:

Una función , se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda

Función inversa: Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.

Sacar la función inversa :

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f⁻¹) (x) = (f⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

2: Obtención del dominio, contradominio y rango de una función a través de por lo menos 5 ejemplos

Dominio de la función: Es el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente “x”. 
Contradominio de una función: Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. 

Dominio:

Dominio de una función polinómica

Las funciones polinómicas son en las que no aparecen ni denominadores ni raíces.

La puede aparecer sumando, restando, multiplicando o elevada a algún exponente, como por ejemplo:

En este tipo de funciones no existe ningún valor de x que haga que f(x) no exista. Por tanto, f(x) existe siempre.

Cuando una función existe siempre, su dominio es todo el conjunto de los números reales:

Cómo se calcula el dominio de una función racional

Las funciones racionales existen para todo R, menos para los valores que hacen 0 el denominador.

Por tanto, para calcular el dominio de una función racional, debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R.

Por ejemplo:

Esta función existirá siempre, menos cuando el denominador sea igual a 0. Por tanto, debemos encontrar esa restricción que anula al denominador.

Para que exista la función, el denominador debe ser distinto de 0:

Y esta restricción, es una ecuación de primer grado, de donde debemos despejar la x:

Cuando x=1, el denominador será 0. Por tanto, para que exista f(x), x tiene que ser distinto de 1 y ese es el valor que hay que quitarle a R:

El dominio es todo R menos el conjunto formado por el número 1.

Vamos a ver otro ejemplo:

Igual que antes, esta función existirá siempre que el denominador no sea 0. Por tanto, calculamos los valores que hacen 0 el denominador:

Es decir, la función existirá siempre que x sea distinto de 2 y 3, por tanto el dominio es todo R menos 2 y 3:

Contradominio:

Sea f una función real definida por f(x)=2.

El dominio de f son todos los números reales tales que, al evaluarlos en f, el resultado es un número real. El contradominio por el momento es igual a R.

Como la función dada es constante (siempre igual a 2), se tiene que no importa qué número real se escoja, ya que al evaluarlo en f el resultado siempre será igual a 2, el cual es un número real.

Por lo tanto, el dominio de la función dada son todos los números reales; es decir, A=R.

Ahora que ya es sabido que el resultado de la función siempre es igual a 2, se tiene que la imagen de la función es solo el número 2, por lo tanto el contradominio de la función puede ser redefinido como B=Img(f)={2}.

Por lo tanto, f : R → {2}.

Ejemplo 2

Sea g una función real definida por g(x)=√x.

Mientras no se conozca la imagen de g, el contradominio de g es B=R.

Con esta función se debe tener tomar en cuenta que las raíces cuadradas solo están definidas para números no negativos; es decir, para números mayores o iguales que cero. Por ejemplo, √-1 no es un número real.

Por lo tanto, el dominio de la función g deben ser todos los números mayores o iguales que cero; esto es, x ≥ 0.

Por lo tanto, A=[0,+∞).

Para calcular el rango se debe notar que cualquier resultado de g(x), por ser una raíz cuadrada, siempre será mayor o igual que cero. Es decir, B=[0,+∞).

En conclusión, g : [0,+∞)→[0,+∞).

Ejemplo 3

Si se tiene la función h(x)=1/(x-1), se tiene que esta función no está definida para x=1, puesto que en el denominador se obtendría cero y la división por cero no está definida.

Por otro lado, para cualquier otro valor real el resultado será un número real. Por lo tanto, el dominio son todos los reales excepto el uno; es decir, A=R\{1}.

Del mismo modo se puede observar que el único valor que no puede obtenerse como resultado es el 0, puesto que para que una fracción sea igual a cero el numerador debe ser cero.

Por lo tanto, la imagen de la función es el conjunto de todos los reales excepto el cero, entonces se toma como contradominio B=R\{0}.

En conclusión, h : R\{1}→R\{0}.

Rango:

Cálculo del rango o recorrido Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R =  − {2}